Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:
<< vorherige Seite
§ 28. Über Elimination.

Sodann nimmt Peirce -- obzwar unbeschadet der Richtigkeit und
Tragweite seiner Resultate -- keine Notiz davon, dass von seinen Prämissen
einzelne schon für sich allein eine Resultante nach sich ziehen, und end-
lich kümmert er sich nicht um die Frage der Vollständigkeit seiner Re-
sultanten. All diese Umstände lassen eine Revision der Arbeit, wie gesagt,
angezeigt erscheinen.

Zuvörderst ist zu beachten, dass von unsern vier Aussagen 2) die
drei letzten schon je einzeln eine Resultante bedingen. Diese, und
zwar die vollständigen Resultanten, gibt das Tableau:
3) [Formel 1]
wo eben die Konklusion 0 = 0 wie üblich auf keine Resultante, das
Fehlen einer solchen hinweist.

Wegen x 1, b ; x b ; 1, b j x b j 1 = 1 verstehen diese Resul-
tanten sich als Konklusionen von selbst. Dass sie aber die vollen Resul-
tanten sind, muss zunächst bewiesen werden; auch wird unsern Resultanten
noch eine bessere Form zu geben sein.

Dass die Proposition 1' a j x keine Resultante liefern kann, geht
daraus hervor, dass bei irgendwie gegebnem a der Wert x = 1 ihr immer
schon (als eine "Wurzel") genügt. Ebenso ist bei der zweiten, dritten und
vierten Proposition ersichtlich, dass die von uns angegebne Resultante die
volle sein muss, weil jener, sobald diese erfüllt ist, eben die Wurzel x = 1
genügt.

Nun haben wir den Satz -- vergl. 48) S. 453:
4) [Formel 2]
dem wir nebenbei auch diesen sogleich zugesellen wollen:
5) [Formel 3]

Beweis zu 4). Denn aus 1' a ; 1 folgt auch 1' ; 1 a ; 1 ; 1 oder
1 a ; 1, also a ; 1 = 1, und umgekehrt, falls letzteres gilt, so ist auch
1' a ; 1 -- als äquivalent mit 1' 1 -- erfüllt.

Beweis zu 5) aus den Koeffizienten zu führen. Die Subsumtion
1'i j Shai h0'h j
ist bei j i nichtssagend, bei j = i dagegen äquivalent mit
1 Shai h0'h i = Sh(0'a)i h = (0'a ; 1)i j = 1i j,
q. e. d.

Die zweite und vierte unsrer Resultanten 3) statuirt also --
cf. 4) -- einfach, dass das Relativ a keine Leerzeilen haben dürfe,
mithin von der Form a = an j 0 + a sei -- cf. 14) des § 16.


§ 28. Über Elimination.

Sodann nimmt Peirce — obzwar unbeschadet der Richtigkeit und
Tragweite seiner Resultate — keine Notiz davon, dass von seinen Prämissen
einzelne schon für sich allein eine Resultante nach sich ziehen, und end-
lich kümmert er sich nicht um die Frage der Vollständigkeit seiner Re-
sultanten. All diese Umstände lassen eine Revision der Arbeit, wie gesagt,
angezeigt erscheinen.

Zuvörderst ist zu beachten, dass von unsern vier Aussagen 2) die
drei letzten schon je einzeln eine Resultante bedingen. Diese, und
zwar die vollständigen Resultanten, gibt das Tableau:
3) [Formel 1]
wo eben die Konklusion 0 = 0 wie üblich auf keine Resultante, das
Fehlen einer solchen hinweist.

Wegen x ⋹ 1, b ; xb ; 1, b ɟ xb ɟ 1 = 1 verstehen diese Resul-
tanten sich als Konklusionen von selbst. Dass sie aber die vollen Resul-
tanten sind, muss zunächst bewiesen werden; auch wird unsern Resultanten
noch eine bessere Form zu geben sein.

Dass die Proposition 1' ⋹ a ɟ x keine Resultante liefern kann, geht
daraus hervor, dass bei irgendwie gegebnem a der Wert x = 1 ihr immer
schon (als eine „Wurzel“) genügt. Ebenso ist bei der zweiten, dritten und
vierten Proposition ersichtlich, dass die von uns angegebne Resultante die
volle sein muss, weil jener, sobald diese erfüllt ist, eben die Wurzel x = 1
genügt.

Nun haben wir den Satz — vergl. 48) S. 453:
4) [Formel 2]
dem wir nebenbei auch diesen sogleich zugesellen wollen:
5) [Formel 3]

Beweis zu 4). Denn aus 1' ⋹ a ; 1 folgt auch 1' ; 1 ⋹ a ; 1 ; 1 oder
1 ⋹ a ; 1, also a ; 1 = 1, und umgekehrt, falls letzteres gilt, so ist auch
1' ⋹ a ; 1 — als äquivalent mit 1' ⋹ 1 — erfüllt.

Beweis zu 5) aus den Koeffizienten zu führen. Die Subsumtion
1'i jΣhai h0'h j
ist bei ji nichtssagend, bei j = i dagegen äquivalent mit
1 ⋹ Σhai h0'h i = Σh(0'a)i h = (0'a ; 1)i j = 1i j,
q. e. d.

Die zweite und vierte unsrer Resultanten 3) statuirt also —
cf. 4) — einfach, dass das Relativ a keine Leerzeilen haben dürfe,
mithin von der Form a = ᾱ ɟ 0 + α sei — cf. 14) des § 16.


<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0485" n="471"/>
          <fw place="top" type="header">§ 28. Über Elimination.</fw><lb/>
          <p>Sodann nimmt <hi rendition="#g">Peirce</hi> &#x2014; obzwar unbeschadet der Richtigkeit und<lb/>
Tragweite seiner Resultate &#x2014; keine Notiz davon, dass von seinen Prämissen<lb/>
einzelne schon für sich allein eine Resultante nach sich ziehen, und end-<lb/>
lich kümmert er sich nicht um die Frage der Vollständigkeit seiner Re-<lb/>
sultanten. All diese Umstände lassen eine Revision der Arbeit, wie gesagt,<lb/>
angezeigt erscheinen.</p><lb/>
          <p>Zuvörderst ist zu beachten, dass von unsern vier Aussagen 2) die<lb/>
drei letzten schon je einzeln eine Resultante bedingen. Diese, und<lb/>
zwar die vollständigen Resultanten, gibt das Tableau:<lb/>
3) <formula/><lb/>
wo eben die Konklusion 0 = 0 wie üblich auf <hi rendition="#i">keine</hi> Resultante, das<lb/>
Fehlen einer solchen hinweist.</p><lb/>
          <p>Wegen <hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; 1, <hi rendition="#i">b</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> ; 1, <hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; 1 = 1 verstehen diese Resul-<lb/>
tanten sich als Konklusionen von selbst. Dass sie aber die vollen Resul-<lb/>
tanten sind, muss zunächst bewiesen werden; auch wird unsern Resultanten<lb/>
noch eine bessere Form zu geben sein.</p><lb/>
          <p>Dass die Proposition 1' &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">x</hi> keine Resultante liefern kann, geht<lb/>
daraus hervor, dass bei irgendwie gegebnem <hi rendition="#i">a</hi> der Wert <hi rendition="#i">x</hi> = 1 ihr immer<lb/>
schon (als eine &#x201E;Wurzel&#x201C;) genügt. Ebenso ist bei der zweiten, dritten und<lb/>
vierten Proposition ersichtlich, dass die von uns angegebne Resultante die<lb/>
volle sein muss, weil jener, sobald diese erfüllt ist, eben die Wurzel <hi rendition="#i">x</hi> = 1<lb/>
genügt.</p><lb/>
          <p>Nun haben wir den <hi rendition="#g">Satz</hi> &#x2014; vergl. 48) S. 453:<lb/>
4) <formula/><lb/>
dem wir nebenbei auch diesen sogleich zugesellen wollen:<lb/>
5) <formula/><lb/></p>
          <p><hi rendition="#g">Beweis</hi> zu 4). Denn aus 1' &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> ; 1 folgt auch 1' ; 1 &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> ; 1 ; 1 oder<lb/>
1 &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> ; 1, also <hi rendition="#i">a</hi> ; 1 = 1, und umgekehrt, falls letzteres gilt, so ist auch<lb/>
1' &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> ; 1 &#x2014; als äquivalent mit 1' &#x22F9; 1 &#x2014; erfüllt.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweis</hi> zu 5) aus den Koeffizienten zu führen. Die Subsumtion<lb/><hi rendition="#c">1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">h</hi>a<hi rendition="#sub">i h</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h j</hi></hi></hi><lb/>
ist bei <hi rendition="#i">j</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">i</hi> nichtssagend, bei <hi rendition="#i">j</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> dagegen äquivalent mit<lb/><hi rendition="#c">1 &#x22F9; <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">h</hi>a<hi rendition="#sub">i h</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h i</hi></hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(0'<hi rendition="#i">a</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i h</hi></hi> = (0'<hi rendition="#i">a</hi> ; 1)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = 1<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi>,</hi><lb/>
q. e. d.</p><lb/>
          <p>Die zweite und vierte unsrer Resultanten 3) statuirt also &#x2014;<lb/>
cf. 4) &#x2014; einfach, dass das Relativ <hi rendition="#i">a keine Leerzeilen</hi> haben dürfe,<lb/>
mithin von der Form <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi> &#x025F; 0 + <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> sei &#x2014; cf. 14) des § 16.</p><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[471/0485] § 28. Über Elimination. Sodann nimmt Peirce — obzwar unbeschadet der Richtigkeit und Tragweite seiner Resultate — keine Notiz davon, dass von seinen Prämissen einzelne schon für sich allein eine Resultante nach sich ziehen, und end- lich kümmert er sich nicht um die Frage der Vollständigkeit seiner Re- sultanten. All diese Umstände lassen eine Revision der Arbeit, wie gesagt, angezeigt erscheinen. Zuvörderst ist zu beachten, dass von unsern vier Aussagen 2) die drei letzten schon je einzeln eine Resultante bedingen. Diese, und zwar die vollständigen Resultanten, gibt das Tableau: 3) [FORMEL] wo eben die Konklusion 0 = 0 wie üblich auf keine Resultante, das Fehlen einer solchen hinweist. Wegen x ⋹ 1, b ; x ⋹ b ; 1, b ɟ x ⋹ b ɟ 1 = 1 verstehen diese Resul- tanten sich als Konklusionen von selbst. Dass sie aber die vollen Resul- tanten sind, muss zunächst bewiesen werden; auch wird unsern Resultanten noch eine bessere Form zu geben sein. Dass die Proposition 1' ⋹ a ɟ x keine Resultante liefern kann, geht daraus hervor, dass bei irgendwie gegebnem a der Wert x = 1 ihr immer schon (als eine „Wurzel“) genügt. Ebenso ist bei der zweiten, dritten und vierten Proposition ersichtlich, dass die von uns angegebne Resultante die volle sein muss, weil jener, sobald diese erfüllt ist, eben die Wurzel x = 1 genügt. Nun haben wir den Satz — vergl. 48) S. 453: 4) [FORMEL] dem wir nebenbei auch diesen sogleich zugesellen wollen: 5) [FORMEL] Beweis zu 4). Denn aus 1' ⋹ a ; 1 folgt auch 1' ; 1 ⋹ a ; 1 ; 1 oder 1 ⋹ a ; 1, also a ; 1 = 1, und umgekehrt, falls letzteres gilt, so ist auch 1' ⋹ a ; 1 — als äquivalent mit 1' ⋹ 1 — erfüllt. Beweis zu 5) aus den Koeffizienten zu führen. Die Subsumtion 1'i j ⋹ Σhai h0'h j ist bei j ≠ i nichtssagend, bei j = i dagegen äquivalent mit 1 ⋹ Σhai h0'h i = Σh(0'a)i h = (0'a ; 1)i j = 1i j, q. e. d. Die zweite und vierte unsrer Resultanten 3) statuirt also — cf. 4) — einfach, dass das Relativ a keine Leerzeilen haben dürfe, mithin von der Form a = ᾱ ɟ 0 + α sei — cf. 14) des § 16.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/485
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 471. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/485>, abgerufen am 14.05.2024.