sind also X, Y, Z die partiellen Ableitungen derselben Function der Coordinaten, so ist der ganze Ausdruck unter dem Summenzeichen die totale Variation [d]V von V. Ist dieselbe = o, so ist V selbst im allgemeinen ein Maximum oder Minimum.
5. Wir wollen zunächst den Gebrauch der Gleichung 1 durch ein einfaches Beispiel erläutern. Sind alle An- griffspunkte der Kräfte voneinander unabhängig, so liegt eigentlich keine Aufgabe vor. Jeder Punkt ist dann nur im Gleichgewicht, wenn die ihn ergreifenden Kräfte, also auch deren Componenten = o sind. Alle [d]x, [d]y, [d]z ... sind dann vollkommen willkürlich, und die Gleichung 1 kann also nur allgemein bestehen, wenn die Coefficienten aller [d]x, [d]y, [d]z .... der Null gleich sind.
Bestehen aber Gleichungen zwischen den Coordi- naten der einzelnen Punkte, d. h. sind die Punkte nicht unabhängig voneinander beweglich, so sind diese von der Form F(x1, y1, z1, x2, y2, z2 ....)=o oder kürzer F=o. Dann bestehen auch zwischen den Verschiebungen Gleichungen von der Form
[Formel 1]
die wir kurz mit DF=o bezeichnen wollen. Besteht ein System aus n Punkten, so entsprechen diesen 3n Coordinaten und die Gleichung 1 enthält 3n Grössen [d]x, [d]y, [d]z .... Bestehen nun zwischen den Coordinaten m Gleichungen von der Form F=o, so sind hiermit zugleich m Gleichungen DF=o zwischen den Varia- tionen [d]x, [d]y, [d]z ... gegeben. Aus denselben lassen sich m Variationen durch die übrigen ausdrücken, und in Gleichung 1 einsetzen. Es bleiben also 3n--m will- kürliche Verschiebungen in 1 übrig, deren Coefficienten = o gesetzt werden. Hierdurch entstehen 3n--m Gleichungen zwischen den Kräften und Coordinaten, zu welchen die m Gleichungen (F=o) hinzugefügt werden. Man hat also im ganzen 3n Gleichungen, die
Die formelle Entwickelung der Mechanik.
sind also X, Y, Z die partiellen Ableitungen derselben Function der Coordinaten, so ist der ganze Ausdruck unter dem Summenzeichen die totale Variation [δ]V von V. Ist dieselbe = o, so ist V selbst im allgemeinen ein Maximum oder Minimum.
5. Wir wollen zunächst den Gebrauch der Gleichung 1 durch ein einfaches Beispiel erläutern. Sind alle An- griffspunkte der Kräfte voneinander unabhängig, so liegt eigentlich keine Aufgabe vor. Jeder Punkt ist dann nur im Gleichgewicht, wenn die ihn ergreifenden Kräfte, also auch deren Componenten = o sind. Alle [δ]x, [δ]y, [δ]z … sind dann vollkommen willkürlich, und die Gleichung 1 kann also nur allgemein bestehen, wenn die Coefficienten aller [δ]x, [δ]y, [δ]z .... der Null gleich sind.
Bestehen aber Gleichungen zwischen den Coordi- naten der einzelnen Punkte, d. h. sind die Punkte nicht unabhängig voneinander beweglich, so sind diese von der Form F(x1, y1, z1, x2, y2, z2 ....)=o oder kürzer F=o. Dann bestehen auch zwischen den Verschiebungen Gleichungen von der Form
[Formel 1]
die wir kurz mit DF=o bezeichnen wollen. Besteht ein System aus n Punkten, so entsprechen diesen 3n Coordinaten und die Gleichung 1 enthält 3n Grössen [δ]x, [δ]y, [δ]z .... Bestehen nun zwischen den Coordinaten m Gleichungen von der Form F=o, so sind hiermit zugleich m Gleichungen DF=o zwischen den Varia- tionen [δ]x, [δ]y, [δ]z … gegeben. Aus denselben lassen sich m Variationen durch die übrigen ausdrücken, und in Gleichung 1 einsetzen. Es bleiben also 3n—m will- kürliche Verschiebungen in 1 übrig, deren Coefficienten = o gesetzt werden. Hierdurch entstehen 3n—m Gleichungen zwischen den Kräften und Coordinaten, zu welchen die m Gleichungen (F=o) hinzugefügt werden. Man hat also im ganzen 3n Gleichungen, die
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0453"n="441"/><fwplace="top"type="header">Die formelle Entwickelung der Mechanik.</fw><lb/>
sind also <hirendition="#i">X, Y, Z</hi> die partiellen Ableitungen derselben<lb/>
Function der Coordinaten, so ist der ganze Ausdruck<lb/>
unter dem Summenzeichen die totale Variation <hirendition="#g"><supplied>δ</supplied><hirendition="#i">V</hi></hi> von <hirendition="#i">V</hi>.<lb/>
Ist dieselbe = <hirendition="#i">o</hi>, so ist <hirendition="#i">V</hi> selbst im allgemeinen ein<lb/>
Maximum oder Minimum.</p><lb/><p>5. Wir wollen zunächst den Gebrauch der Gleichung 1<lb/>
durch ein einfaches Beispiel erläutern. Sind alle An-<lb/>
griffspunkte der Kräfte voneinander <hirendition="#g">unabhängig,</hi> so<lb/>
liegt eigentlich keine Aufgabe vor. Jeder Punkt ist<lb/>
dann nur im Gleichgewicht, wenn die ihn ergreifenden<lb/>
Kräfte, also auch deren Componenten = <hirendition="#i">o</hi> sind. Alle<lb/><hirendition="#g"><supplied>δ</supplied><hirendition="#i">x</hi>, <supplied>δ</supplied><hirendition="#i">y</hi>, <supplied>δ</supplied><hirendition="#i">z</hi></hi>… sind dann vollkommen willkürlich, und die<lb/>
Gleichung 1 kann also nur allgemein bestehen, wenn die<lb/>
Coefficienten aller <hirendition="#g"><supplied>δ</supplied><hirendition="#i">x</hi>, <supplied>δ</supplied><hirendition="#i">y</hi>, <supplied>δ</supplied><hirendition="#i">z</hi></hi> .... der Null gleich sind.</p><lb/><p>Bestehen aber <hirendition="#g">Gleichungen</hi> zwischen den Coordi-<lb/>
naten der einzelnen Punkte, d. h. sind die Punkte nicht<lb/>
unabhängig voneinander beweglich, so sind diese von der<lb/>
Form <hirendition="#i">F</hi>(<hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">1</hi>, <hirendition="#i">y</hi><hirendition="#sub">1</hi>, <hirendition="#i">z</hi><hirendition="#sub">1</hi>, <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">2</hi>, <hirendition="#i">y</hi><hirendition="#sub">2</hi>, <hirendition="#i">z</hi><hirendition="#sub">2</hi> ....)=<hirendition="#i">o</hi> oder kürzer<lb/><hirendition="#g"><hirendition="#i">F=o</hi></hi>. Dann bestehen auch zwischen den Verschiebungen<lb/>
Gleichungen von der Form<lb/><formula/> die wir kurz mit <hirendition="#g"><hirendition="#i">DF=o</hi></hi> bezeichnen wollen. Besteht<lb/>
ein System aus <hirendition="#i">n</hi> Punkten, so entsprechen diesen <hirendition="#g">3<hirendition="#i">n</hi></hi><lb/>
Coordinaten und die Gleichung 1 enthält <hirendition="#g">3<hirendition="#i">n</hi></hi> Grössen<lb/><hirendition="#g"><supplied>δ</supplied><hirendition="#i">x</hi>, <supplied>δ</supplied><hirendition="#i">y</hi>, <supplied>δ</supplied><hirendition="#i">z</hi></hi> .... Bestehen nun zwischen den Coordinaten<lb/><hirendition="#i">m</hi> Gleichungen von der Form <hirendition="#g"><hirendition="#i">F=o</hi></hi>, so sind hiermit<lb/>
zugleich <hirendition="#i">m</hi> Gleichungen <hirendition="#g"><hirendition="#i">DF=o</hi></hi> zwischen den Varia-<lb/>
tionen <hirendition="#g"><supplied>δ</supplied><hirendition="#i">x</hi>, <supplied>δ</supplied><hirendition="#i">y</hi>, <supplied>δ</supplied><hirendition="#i">z</hi></hi>… gegeben. Aus denselben lassen<lb/>
sich <hirendition="#i">m</hi> Variationen durch die übrigen ausdrücken, und<lb/>
in Gleichung 1 einsetzen. Es bleiben also <hirendition="#g">3<hirendition="#i">n—m</hi></hi> will-<lb/>
kürliche Verschiebungen in 1 übrig, deren Coefficienten<lb/>
= <hirendition="#i">o</hi> gesetzt werden. Hierdurch entstehen <hirendition="#g">3<hirendition="#i">n—m</hi></hi><lb/>
Gleichungen zwischen den Kräften und Coordinaten,<lb/>
zu welchen die <hirendition="#i">m</hi> Gleichungen (<hirendition="#g"><hirendition="#i">F=o</hi></hi>) hinzugefügt<lb/>
werden. Man hat also im ganzen <hirendition="#g">3<hirendition="#i">n</hi></hi> Gleichungen, die<lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[441/0453]
Die formelle Entwickelung der Mechanik.
sind also X, Y, Z die partiellen Ableitungen derselben
Function der Coordinaten, so ist der ganze Ausdruck
unter dem Summenzeichen die totale Variation δV von V.
Ist dieselbe = o, so ist V selbst im allgemeinen ein
Maximum oder Minimum.
5. Wir wollen zunächst den Gebrauch der Gleichung 1
durch ein einfaches Beispiel erläutern. Sind alle An-
griffspunkte der Kräfte voneinander unabhängig, so
liegt eigentlich keine Aufgabe vor. Jeder Punkt ist
dann nur im Gleichgewicht, wenn die ihn ergreifenden
Kräfte, also auch deren Componenten = o sind. Alle
δx, δy, δz … sind dann vollkommen willkürlich, und die
Gleichung 1 kann also nur allgemein bestehen, wenn die
Coefficienten aller δx, δy, δz .... der Null gleich sind.
Bestehen aber Gleichungen zwischen den Coordi-
naten der einzelnen Punkte, d. h. sind die Punkte nicht
unabhängig voneinander beweglich, so sind diese von der
Form F(x1, y1, z1, x2, y2, z2 ....)=o oder kürzer
F=o. Dann bestehen auch zwischen den Verschiebungen
Gleichungen von der Form
[FORMEL] die wir kurz mit DF=o bezeichnen wollen. Besteht
ein System aus n Punkten, so entsprechen diesen 3n
Coordinaten und die Gleichung 1 enthält 3n Grössen
δx, δy, δz .... Bestehen nun zwischen den Coordinaten
m Gleichungen von der Form F=o, so sind hiermit
zugleich m Gleichungen DF=o zwischen den Varia-
tionen δx, δy, δz … gegeben. Aus denselben lassen
sich m Variationen durch die übrigen ausdrücken, und
in Gleichung 1 einsetzen. Es bleiben also 3n—m will-
kürliche Verschiebungen in 1 übrig, deren Coefficienten
= o gesetzt werden. Hierdurch entstehen 3n—m
Gleichungen zwischen den Kräften und Coordinaten,
zu welchen die m Gleichungen (F=o) hinzugefügt
werden. Man hat also im ganzen 3n Gleichungen, die
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883, S. 441. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mach_mechanik_1883/453>, abgerufen am 27.04.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
