X, Y, Z die partiellen Ableitungen derselben Function U der Coordinaten, also
[Formel 1]
, wie es immer stattfindet, wenn nur sogenannte Central- kräfte vorhanden sind, so ist diese Reduction unnöthig. Es ist dann der ganze Ausdruck links ein vollständiges Differential. Wir haben dann
[Formel 2]
, d. h. die Differenz der Kraftfunctionen (Arbeiten) am Anfang und Ende der Bewegung ist gleich der Diffe- renz der lebendigen Kräfte am Anfang und Ende der Bewegung. Die lebendigen Kräfte sind dann ebenfalls Functionen der Coordinaten.
Es seien beispielsweise für einen in der XY-Ebene beweglichen Körper X=--y, Y=--x, so haben wir
[Formel 3]
Sind aber X=--a, Y=--x, so ist das Integrale linker Hand --[integral](adx+xdy). Dasselbe kann ange- geben werden, sobald man den Weg kennt, welchen der Körper durchlaufen hat, d. h. sobald y als Function von x gegeben ist. Wäre z. B. y=px2, so würde das Integrale
[Formel 4]
.
Der Unterschied der beiden Fälle besteht darin, dass im ersten die Arbeit lediglich eine Function der Coordinaten ist, dass eine Kraftfunction existirt, dass das Arbeitselement ein vollständiges Differential ist, so- dass also durch die Anfangs- und Endwerthe der Co- ordinaten die Arbeitgegeben ist, während sie im zwei- ten Fall von dem ganzen Ueberführungswege abhängt.
9. Die einfachen hier angeführten Beispiele, welche an
29*
Die formelle Entwickelung der Mechanik.
X, Y, Z die partiellen Ableitungen derselben Function U der Coordinaten, also
[Formel 1]
, wie es immer stattfindet, wenn nur sogenannte Central- kräfte vorhanden sind, so ist diese Reduction unnöthig. Es ist dann der ganze Ausdruck links ein vollständiges Differential. Wir haben dann
[Formel 2]
, d. h. die Differenz der Kraftfunctionen (Arbeiten) am Anfang und Ende der Bewegung ist gleich der Diffe- renz der lebendigen Kräfte am Anfang und Ende der Bewegung. Die lebendigen Kräfte sind dann ebenfalls Functionen der Coordinaten.
Es seien beispielsweise für einen in der XY-Ebene beweglichen Körper X=—y, Y=—x, so haben wir
[Formel 3]
Sind aber X=—a, Y=—x, so ist das Integrale linker Hand —[∫](adx+xdy). Dasselbe kann ange- geben werden, sobald man den Weg kennt, welchen der Körper durchlaufen hat, d. h. sobald y als Function von x gegeben ist. Wäre z. B. y=px2, so würde das Integrale
[Formel 4]
.
Der Unterschied der beiden Fälle besteht darin, dass im ersten die Arbeit lediglich eine Function der Coordinaten ist, dass eine Kraftfunction existirt, dass das Arbeitselement ein vollständiges Differential ist, so- dass also durch die Anfangs- und Endwerthe der Co- ordinaten die Arbeitgegeben ist, während sie im zwei- ten Fall von dem ganzen Ueberführungswege abhängt.
9. Die einfachen hier angeführten Beispiele, welche an
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Die formelle Entwickelung der Mechanik.
X, Y, Z die partiellen Ableitungen derselben Function
U der Coordinaten, also
[FORMEL],
wie es immer stattfindet, wenn nur sogenannte Central-
kräfte vorhanden sind, so ist diese Reduction unnöthig.
Es ist dann der ganze Ausdruck links ein vollständiges
Differential. Wir haben dann
[FORMEL],
d. h. die Differenz der Kraftfunctionen (Arbeiten) am
Anfang und Ende der Bewegung ist gleich der Diffe-
renz der lebendigen Kräfte am Anfang und Ende der
Bewegung. Die lebendigen Kräfte sind dann ebenfalls
Functionen der Coordinaten.
Es seien beispielsweise für einen in der XY-Ebene
beweglichen Körper X=—y, Y=—x, so haben wir
[FORMEL] Sind aber X=—a, Y=—x, so ist das Integrale
linker Hand —∫(adx+xdy). Dasselbe kann ange-
geben werden, sobald man den Weg kennt, welchen
der Körper durchlaufen hat, d. h. sobald y als Function
von x gegeben ist. Wäre z. B. y=px2, so würde
das Integrale
[FORMEL].
Der Unterschied der beiden Fälle besteht darin,
dass im ersten die Arbeit lediglich eine Function der
Coordinaten ist, dass eine Kraftfunction existirt, dass
das Arbeitselement ein vollständiges Differential ist, so-
dass also durch die Anfangs- und Endwerthe der Co-
ordinaten die Arbeitgegeben ist, während sie im zwei-
ten Fall von dem ganzen Ueberführungswege abhängt.
9. Die einfachen hier angeführten Beispiele, welche an
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Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883, S. 451. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mach_mechanik_1883/463>, abgerufen am 27.04.2024.
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