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Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen-Constructionen.
[Spaltenumbruch]
der Auflagerdruck der Belastungsfläche der nten Oeffnung auf
die n + 1ste Stütze; ebenso ist
[Formel 1] der Auflagerdruck der Belastungsfläche der n + 1sten Oeffnung
auf die n + 1ste Stütze; und endlich ist
[Formel 2] der Auflagerdruck des unbelasteten Seils vom Horizontalzug
E auf die n + 1ste Stütze, wenn dasselbe durch die drei Auf-
lagerpunkte A, B, C geführt wird. Denn nach 18) ist jener
Druck gleich (s. Fig. 30 Blatt 397)
[Formel 3] und ferner ist
[Formel 4]

Als allgemeine Beziehung ergiebt sich hieraus,
daß der Auflagerdruck des Seils und der Bela-
stungsflächen zweier Nachbaröffnungen auf den
zwischen diesen Oeffnungen liegenden Stützpunkt
gleich Null ist
.

In einer andern Form haben wir diesen Satz bereits im
Bd. VIII. S. 253 dieser Zeitschrift entwickelt. Nachdem die
Beziehung zwischen der Seilcurve und der elastischen Linie der
Betrachtung zu Grunde gelegt wurde, hätte es eines beson-
deren Beweises kaum bedurft, denn da die elastische Linie
über den Stützpunkten eine continuirliche Form hat, und da
Einzelkräfte Knickpunkte im Seil erzeugen, so kann die ent-
sprechende Seilcurve auf jene Punkte keine Drücke ausüben.

Graphische Bestimmung der unbekannten Biegungsmomente
über den Stützpunkten eines continuirlichen Trägers von
constantem Querschnitt, wenn die Belastungen des Trägers
und die Höhenlage der Stützpunkte gegeben sind.

Wenn die Belastungen gegeben sind, so ist damit die
Größe V und die Lage des Schwerpunkts der positiven Be-
lastungsfläche für jede Oeffnung bekannt. In der Fig. 31
Blatt 398 ist angenommen, daß die einzelnen Oeffnungen gleich-
mäßig belastet seien, und daß daher die Ordinaten der Kräfte
V die Oeffnungen halbiren; die folgende Construction ändert
sich jedoch durchaus nicht, wenn die Belastung der einzelnen
Oeffnungen ungleichmäßig ist und etwa aus concentrirten
Einzelkräften besteht; in diesem Falle würden durch besondere
Zeichnungen die Inhalte und Schwerpunkte der positiven Be-
lastungsflächen zu bestimmen sein.

In Fig. 31) sei B1 C2 C3 C4 B5 das Seilpolygon, wel-
[Spaltenumbruch]
ches bei einer gegebenen Belastung eines continuirlichen Trä-
gers über vier Oeffnungen von den vier Kräften V1, V2, V3, V4
und dem constanten Horizontalzug E·T gebildet wird. B2,
B3, B4
seien die gegebenen Lagen der Mittelstützen, wobei
man zu beachten hat, daß der Maaßstab der Ordinaten zum
Maaßstab der Abscissen sich verhalten muß wie der Maaßstab
von V zu dem von E·T. Die negativen Ordinaten des
von den unbekannten Belastungen U und W gebildeten Seil-
polygons müssen in Bezug auf die Stützpunkte B2, B3, B4
genau so groß sein, wie die positiven Ordinaten des erstge-
nannten Polygons, denn die Ordinatensumme beider Polygone
ist in den Stützpunkten gleich Null (vergl. 15). Indem
man also
[Formel 5] aufträgt, erhält man drei Punkte des unbekannten Seilpolygons.
Diese Bedingung in Verbindung mit den Beziehungen
[Formel 6] genügt zur graphischen Bestimmung der sechs unbekannten
Belastungen U und W.

Die in Fig. 34 Blatt 398 dargestellten drei ersten Seiten
des unbekannten Seilpolygons haben folgende Bedingungen
zu erfüllen:

1) Die Polygonseite B1 W1 geht durch den festen Punkt
B1 und die Seite W1 U2 durch den festen Punkt D2.

2) Die beiden Polygonseiten B1 W1 und U2 W2 schnei-
den sich auf der festen Ordinate, in welcher die Mittelkraft R
der beiden Belastungen W1 und U2 wirkt (vgl. 9). Da
[Formel 7] ist, so ist der horizontale Abstand zwischen W1 und R gleich
1/3 l2 und der Abstand zwischen R und U2 gleich 1/3 l1.

3) Die feste Linie B1 D2 schneidet die Polygonseite U2
W2
in dem festen Punkte E2. Denn wenn man in dem
Punkte B1 eine Belastung gleich + 1/3 W1 anbringt und
das Seilpolygon über B1 hinaus fortsetzt, so geht die neue
Polygonseite S1 durch den Punkt D2, weil die Mittelkraft
der zwei Belastungen
[Formel 8] in der Ordinate des Punktes D2 wirkt (vergl. 9). Da nun
das Verhältniß der drei Belastungen
[Formel 9] ein constantes ist, so hat die Mittelkraft Z dieser drei Be-
lastungen eine feste, nur von dem Verhältniß der Oeffnungs-

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.
[Spaltenumbruch]
der Auflagerdruck der Belaſtungsfläche der nten Oeffnung auf
die n + 1ſte Stütze; ebenſo iſt
[Formel 1] der Auflagerdruck der Belaſtungsfläche der n + 1ſten Oeffnung
auf die n + 1ſte Stütze; und endlich iſt
[Formel 2] der Auflagerdruck des unbelaſteten Seils vom Horizontalzug
E auf die n + 1ſte Stütze, wenn dasſelbe durch die drei Auf-
lagerpunkte A, B, C geführt wird. Denn nach 18) iſt jener
Druck gleich (ſ. Fig. 30 Blatt 397)
[Formel 3] und ferner iſt
[Formel 4]

Als allgemeine Beziehung ergiebt ſich hieraus,
daß der Auflagerdruck des Seils und der Bela-
ſtungsflächen zweier Nachbaröffnungen auf den
zwiſchen dieſen Oeffnungen liegenden Stützpunkt
gleich Null iſt
.

In einer andern Form haben wir dieſen Satz bereits im
Bd. VIII. S. 253 dieſer Zeitſchrift entwickelt. Nachdem die
Beziehung zwiſchen der Seilcurve und der elaſtiſchen Linie der
Betrachtung zu Grunde gelegt wurde, hätte es eines beſon-
deren Beweiſes kaum bedurft, denn da die elaſtiſche Linie
über den Stützpunkten eine continuirliche Form hat, und da
Einzelkräfte Knickpunkte im Seil erzeugen, ſo kann die ent-
ſprechende Seilcurve auf jene Punkte keine Drücke ausüben.

Graphiſche Beſtimmung der unbekannten Biegungsmomente
über den Stützpunkten eines continuirlichen Trägers von
conſtantem Querſchnitt, wenn die Belaſtungen des Trägers
und die Höhenlage der Stützpunkte gegeben ſind.

Wenn die Belaſtungen gegeben ſind, ſo iſt damit die
Größe V und die Lage des Schwerpunkts der poſitiven Be-
laſtungsfläche für jede Oeffnung bekannt. In der Fig. 31
Blatt 398 iſt angenommen, daß die einzelnen Oeffnungen gleich-
mäßig belaſtet ſeien, und daß daher die Ordinaten der Kräfte
V die Oeffnungen halbiren; die folgende Conſtruction ändert
ſich jedoch durchaus nicht, wenn die Belaſtung der einzelnen
Oeffnungen ungleichmäßig iſt und etwa aus concentrirten
Einzelkräften beſteht; in dieſem Falle würden durch beſondere
Zeichnungen die Inhalte und Schwerpunkte der poſitiven Be-
laſtungsflächen zu beſtimmen ſein.

In Fig. 31) ſei B1 C2 C3 C4 B5 das Seilpolygon, wel-
[Spaltenumbruch]
ches bei einer gegebenen Belaſtung eines continuirlichen Trä-
gers über vier Oeffnungen von den vier Kräften V1, V2, V3, V4
und dem conſtanten Horizontalzug E·T gebildet wird. B2,
B3, B4
ſeien die gegebenen Lagen der Mittelſtützen, wobei
man zu beachten hat, daß der Maaßſtab der Ordinaten zum
Maaßſtab der Abſciſſen ſich verhalten muß wie der Maaßſtab
von V zu dem von E·T. Die negativen Ordinaten des
von den unbekannten Belaſtungen U und W gebildeten Seil-
polygons müſſen in Bezug auf die Stützpunkte B2, B3, B4
genau ſo groß ſein, wie die poſitiven Ordinaten des erſtge-
nannten Polygons, denn die Ordinatenſumme beider Polygone
iſt in den Stützpunkten gleich Null (vergl. 15). Indem
man alſo
[Formel 5] aufträgt, erhält man drei Punkte des unbekannten Seilpolygons.
Dieſe Bedingung in Verbindung mit den Beziehungen
[Formel 6] genügt zur graphiſchen Beſtimmung der ſechs unbekannten
Belaſtungen U und W.

Die in Fig. 34 Blatt 398 dargeſtellten drei erſten Seiten
des unbekannten Seilpolygons haben folgende Bedingungen
zu erfüllen:

1) Die Polygonſeite B1 W1 geht durch den feſten Punkt
B1 und die Seite W1 U2 durch den feſten Punkt D2.

2) Die beiden Polygonſeiten B1 W1 und U2 W2 ſchnei-
den ſich auf der feſten Ordinate, in welcher die Mittelkraft R
der beiden Belaſtungen W1 und U2 wirkt (vgl. 9). Da
[Formel 7] iſt, ſo iſt der horizontale Abſtand zwiſchen W1 und R gleich
l2 und der Abſtand zwiſchen R und U2 gleich ⅓ l1.

3) Die feſte Linie B1 D2 ſchneidet die Polygonſeite U2
W2
in dem feſten Punkte E2. Denn wenn man in dem
Punkte B1 eine Belaſtung gleich + ⅓ W1 anbringt und
das Seilpolygon über B1 hinaus fortſetzt, ſo geht die neue
Polygonſeite S1 durch den Punkt D2, weil die Mittelkraft
der zwei Belaſtungen
[Formel 8] in der Ordinate des Punktes D2 wirkt (vergl. 9). Da nun
das Verhältniß der drei Belaſtungen
[Formel 9] ein conſtantes iſt, ſo hat die Mittelkraft Z dieſer drei Be-
laſtungen eine feſte, nur von dem Verhältniß der Oeffnungs-

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[[7]/0018] Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen. der Auflagerdruck der Belaſtungsfläche der nten Oeffnung auf die n + 1ſte Stütze; ebenſo iſt [FORMEL] der Auflagerdruck der Belaſtungsfläche der n + 1ſten Oeffnung auf die n + 1ſte Stütze; und endlich iſt [FORMEL] der Auflagerdruck des unbelaſteten Seils vom Horizontalzug E auf die n + 1ſte Stütze, wenn dasſelbe durch die drei Auf- lagerpunkte A, B, C geführt wird. Denn nach 18) iſt jener Druck gleich (ſ. Fig. 30 Blatt 397) [FORMEL] und ferner iſt [FORMEL] Als allgemeine Beziehung ergiebt ſich hieraus, daß der Auflagerdruck des Seils und der Bela- ſtungsflächen zweier Nachbaröffnungen auf den zwiſchen dieſen Oeffnungen liegenden Stützpunkt gleich Null iſt. In einer andern Form haben wir dieſen Satz bereits im Bd. VIII. S. 253 dieſer Zeitſchrift entwickelt. Nachdem die Beziehung zwiſchen der Seilcurve und der elaſtiſchen Linie der Betrachtung zu Grunde gelegt wurde, hätte es eines beſon- deren Beweiſes kaum bedurft, denn da die elaſtiſche Linie über den Stützpunkten eine continuirliche Form hat, und da Einzelkräfte Knickpunkte im Seil erzeugen, ſo kann die ent- ſprechende Seilcurve auf jene Punkte keine Drücke ausüben. Graphiſche Beſtimmung der unbekannten Biegungsmomente über den Stützpunkten eines continuirlichen Trägers von conſtantem Querſchnitt, wenn die Belaſtungen des Trägers und die Höhenlage der Stützpunkte gegeben ſind. Wenn die Belaſtungen gegeben ſind, ſo iſt damit die Größe V und die Lage des Schwerpunkts der poſitiven Be- laſtungsfläche für jede Oeffnung bekannt. In der Fig. 31 Blatt 398 iſt angenommen, daß die einzelnen Oeffnungen gleich- mäßig belaſtet ſeien, und daß daher die Ordinaten der Kräfte V die Oeffnungen halbiren; die folgende Conſtruction ändert ſich jedoch durchaus nicht, wenn die Belaſtung der einzelnen Oeffnungen ungleichmäßig iſt und etwa aus concentrirten Einzelkräften beſteht; in dieſem Falle würden durch beſondere Zeichnungen die Inhalte und Schwerpunkte der poſitiven Be- laſtungsflächen zu beſtimmen ſein. In Fig. 31) ſei B1 C2 C3 C4 B5 das Seilpolygon, wel- ches bei einer gegebenen Belaſtung eines continuirlichen Trä- gers über vier Oeffnungen von den vier Kräften V1, V2, V3, V4 und dem conſtanten Horizontalzug E·T gebildet wird. B2, B3, B4 ſeien die gegebenen Lagen der Mittelſtützen, wobei man zu beachten hat, daß der Maaßſtab der Ordinaten zum Maaßſtab der Abſciſſen ſich verhalten muß wie der Maaßſtab von V zu dem von E·T. Die negativen Ordinaten des von den unbekannten Belaſtungen U und W gebildeten Seil- polygons müſſen in Bezug auf die Stützpunkte B2, B3, B4 genau ſo groß ſein, wie die poſitiven Ordinaten des erſtge- nannten Polygons, denn die Ordinatenſumme beider Polygone iſt in den Stützpunkten gleich Null (vergl. 15). Indem man alſo [FORMEL] aufträgt, erhält man drei Punkte des unbekannten Seilpolygons. Dieſe Bedingung in Verbindung mit den Beziehungen [FORMEL] genügt zur graphiſchen Beſtimmung der ſechs unbekannten Belaſtungen U und W. Die in Fig. 34 Blatt 398 dargeſtellten drei erſten Seiten des unbekannten Seilpolygons haben folgende Bedingungen zu erfüllen: 1) Die Polygonſeite B1 W1 geht durch den feſten Punkt B1 und die Seite W1 U2 durch den feſten Punkt D2. 2) Die beiden Polygonſeiten B1 W1 und U2 W2 ſchnei- den ſich auf der feſten Ordinate, in welcher die Mittelkraft R der beiden Belaſtungen W1 und U2 wirkt (vgl. 9). Da [FORMEL] iſt, ſo iſt der horizontale Abſtand zwiſchen W1 und R gleich ⅓ l2 und der Abſtand zwiſchen R und U2 gleich ⅓ l1. 3) Die feſte Linie B1 D2 ſchneidet die Polygonſeite U2 W2 in dem feſten Punkte E2. Denn wenn man in dem Punkte B1 eine Belaſtung gleich + ⅓ W1 anbringt und das Seilpolygon über B1 hinaus fortſetzt, ſo geht die neue Polygonſeite S1 durch den Punkt D2, weil die Mittelkraft der zwei Belaſtungen [FORMEL] in der Ordinate des Punktes D2 wirkt (vergl. 9). Da nun das Verhältniß der drei Belaſtungen [FORMEL] ein conſtantes iſt, ſo hat die Mittelkraft Z dieſer drei Be- laſtungen eine feſte, nur von dem Verhältniß der Oeffnungs-

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400, S. [7]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_eisenkonstruktionen_1868/18>, abgerufen am 18.08.2022.