Charakteristisch ist aber die Art, wie McColl zu obiger Gleichung gelangt. Seine Rechnungsweisen sind wesentlich aus dem Aussagenkalkul ("calculus of equivalent statements") hervorgewachsen, und könnten eigent- lich erst unter diesem ganz ungehindert besprochen werden, weshalb wir auch noch einmal auf sie zurückkommen -- § 46 am Schlusse. Bedeuten ihm nun x, y, z, .. u, v, .. verschiedene Aussagen, so wird diesen Symbolen der Wert 1 zukommen, wenn sie wahr und der Wert 0, wenn sie falsch sind (vergl. unten § 28). Wird nun angesetzt das Produkt x y z .. u1v1 .., so sind damit die Faktoraussagen als gleichzeitig gültige hingestellt oder an- genommen (vergl. § 28), d. h. es ist x = y = z .. = 1 und ebenso u1 = v1 = .. = 1, sonach u = v = .. = 0 gesetzt; und deshalb dürfen in der That die genannten Symbole in einer etwa noch dahinter tretenden (d. h. gleichzeitig gemachten) ferneren Aussage f (x, y, z, .., u, v, ..) durch diese ihre Werte 1, 1, 1, .. 0, 0, .. bezüglich ersetzt werden.
Es müsste dies auch gültig bleiben, wenn etwa f (x, y, .., u, ..) nicht mehr blos einen Funktionsausdruck des identischen Kalkuls in unserm bis- herigen Sinne, sondern auch, wenn es irgend ein System von Propositionen vorstellte, in welchem nur als Aussagensymbole die Argumente vorkämen. Gelegentlich macht, um Schlüsse zu ziehen, McColl auch in dieser Weise von dem Satze Gebrauch. Doch lässt von dem wie wir sehen werden engeren "Aussagen"kalkul (in welchem nämlich die Symbole lediglich der Werte 0 und 1 fähig sind) der Satz auch auf den weiteren "Klassen"kalkul (in welchem sie beliebige Werte haben können) sich nicht ohne weiteres übertragen (cf. § 46, 18. Studie).
Ist nun z. B. eine Subsumtion: ph (x) ps (x) nach der Unbekannten x aufzulösen, oder auch diese zu eliminiren, so wird gefolgert: ph (x) ps1 (x) 0 was dasselbe besagt, wie, dass es = 0 sei; und hieraus durch beider- seitiges Multipliziren mit x1 oder x, unter Anwendung des angeführten Satzes: x1ph (x) ps1 (x) = x1ph (0) ps1 (0) 0, x ph (x) ps1 (x) = x ph (1) ps1 (1) 0, oder, was dasselbe besagt, = 0. Nach Th. 38) lassen nun aber diese letzten Subsumtionen sich umschreiben in: ph (0) ps1 (0) x, ph (1) ps1 (1) x1 oder auch, nach Belieben, in: x1ph1 (0) + ps (0), xph1 (1) + ps (1). Multiplizirt man überschiebend die Subsumtionen der ersten, oder ad- dirt ebenso man die der zweiten Zeile, so ergeben sich mit Rücksicht auf Th. 30) und Th. 5) die Formen, in deren erster McColl die Resul- tante der Elimination von x ansetzt:
Vierzehnte Vorlesung.
Charakteristisch ist aber die Art, wie McColl zu obiger Gleichung gelangt. Seine Rechnungsweisen sind wesentlich aus dem Aussagenkalkul („calculus of equivalent statements“) hervorgewachsen, und könnten eigent- lich erst unter diesem ganz ungehindert besprochen werden, weshalb wir auch noch einmal auf sie zurückkommen — § 46 am Schlusse. Bedeuten ihm nun x, y, z, ‥ u, v, ‥ verschiedene Aussagen, so wird diesen Symbolen der Wert 1 zukommen, wenn sie wahr und der Wert 0, wenn sie falsch sind (vergl. unten § 28). Wird nun angesetzt das Produkt x y z ‥ u1v1 ‥, so sind damit die Faktoraussagen als gleichzeitig gültige hingestellt oder an- genommen (vergl. § 28), d. h. es ist x = y = z ‥ = 1 und ebenso u1 = v1 = ‥ = 1, sonach u = v = ‥ = 0 gesetzt; und deshalb dürfen in der That die genannten Symbole in einer etwa noch dahinter tretenden (d. h. gleichzeitig gemachten) ferneren Aussage f (x, y, z, ‥, u, v, ‥) durch diese ihre Werte 1, 1, 1, ‥ 0, 0, ‥ bezüglich ersetzt werden.
Es müsste dies auch gültig bleiben, wenn etwa f (x, y, ‥, u, ‥) nicht mehr blos einen Funktionsausdruck des identischen Kalkuls in unserm bis- herigen Sinne, sondern auch, wenn es irgend ein System von Propositionen vorstellte, in welchem nur als Aussagensymbole die Argumente vorkämen. Gelegentlich macht, um Schlüsse zu ziehen, McColl auch in dieser Weise von dem Satze Gebrauch. Doch lässt von dem wie wir sehen werden engeren „Aussagen“kalkul (in welchem nämlich die Symbole lediglich der Werte 0 und 1 fähig sind) der Satz auch auf den weiteren „Klassen“kalkul (in welchem sie beliebige Werte haben können) sich nicht ohne weiteres übertragen (cf. § 46, 18. Studie).
Ist nun z. B. eine Subsumtion: φ (x) ⋹ ψ (x) nach der Unbekannten x aufzulösen, oder auch diese zu eliminiren, so wird gefolgert: φ (x) ψ1 (x) ⋹ 0 was dasselbe besagt, wie, dass es = 0 sei; und hieraus durch beider- seitiges Multipliziren mit x1 oder x, unter Anwendung des angeführten Satzes: x1φ (x) ψ1 (x) = x1φ (0) ψ1 (0) ⋹ 0, x φ (x) ψ1 (x) = x φ (1) ψ1 (1) ⋹ 0, oder, was dasselbe besagt, = 0. Nach Th. 38) lassen nun aber diese letzten Subsumtionen sich umschreiben in: φ (0) ψ1 (0) ⋹ x, φ (1) ψ1 (1) ⋹ x1 oder auch, nach Belieben, in: x1 ⋹ φ1 (0) + ψ (0), x ⋹ φ1 (1) + ψ (1). Multiplizirt man überschiebend die Subsumtionen der ersten, oder ad- dirt ebenso man die der zweiten Zeile, so ergeben sich mit Rücksicht auf Th. 30) und Th. 5) die Formen, in deren erster McColl die Resul- tante der Elimination von x ansetzt:
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[590/0610]
Vierzehnte Vorlesung.
Charakteristisch ist aber die Art, wie McColl zu obiger Gleichung
gelangt. Seine Rechnungsweisen sind wesentlich aus dem Aussagenkalkul
(„calculus of equivalent statements“) hervorgewachsen, und könnten eigent-
lich erst unter diesem ganz ungehindert besprochen werden, weshalb wir
auch noch einmal auf sie zurückkommen — § 46 am Schlusse. Bedeuten
ihm nun x, y, z, ‥ u, v, ‥ verschiedene Aussagen, so wird diesen Symbolen
der Wert 1 zukommen, wenn sie wahr und der Wert 0, wenn sie falsch
sind (vergl. unten § 28). Wird nun angesetzt das Produkt x y z ‥ u1 v1 ‥, so
sind damit die Faktoraussagen als gleichzeitig gültige hingestellt oder an-
genommen (vergl. § 28), d. h. es ist x = y = z ‥ = 1 und ebenso
u1 = v1 = ‥ = 1, sonach u = v = ‥ = 0 gesetzt; und deshalb dürfen
in der That die genannten Symbole in einer etwa noch dahinter tretenden
(d. h. gleichzeitig gemachten) ferneren Aussage f (x, y, z, ‥, u, v, ‥) durch
diese ihre Werte 1, 1, 1, ‥ 0, 0, ‥ bezüglich ersetzt werden.
Es müsste dies auch gültig bleiben, wenn etwa f (x, y, ‥, u, ‥) nicht
mehr blos einen Funktionsausdruck des identischen Kalkuls in unserm bis-
herigen Sinne, sondern auch, wenn es irgend ein System von Propositionen
vorstellte, in welchem nur als Aussagensymbole die Argumente vorkämen.
Gelegentlich macht, um Schlüsse zu ziehen, McColl auch in dieser Weise
von dem Satze Gebrauch. Doch lässt von dem wie wir sehen werden
engeren „Aussagen“kalkul (in welchem nämlich die Symbole lediglich der
Werte 0 und 1 fähig sind) der Satz auch auf den weiteren „Klassen“kalkul
(in welchem sie beliebige Werte haben können) sich nicht ohne weiteres
übertragen (cf. § 46, 18. Studie).
Ist nun z. B. eine Subsumtion:
φ (x) ⋹ ψ (x)
nach der Unbekannten x aufzulösen, oder auch diese zu eliminiren, so
wird gefolgert:
φ (x) ψ1 (x) ⋹ 0
was dasselbe besagt, wie, dass es = 0 sei; und hieraus durch beider-
seitiges Multipliziren mit x1 oder x, unter Anwendung des angeführten
Satzes:
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oder, was dasselbe besagt, = 0. Nach Th. 38) lassen nun aber diese
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oder auch, nach Belieben, in:
x1 ⋹ φ1 (0) + ψ (0), x ⋹ φ1 (1) + ψ (1).
Multiplizirt man überschiebend die Subsumtionen der ersten, oder ad-
dirt ebenso man die der zweiten Zeile, so ergeben sich mit Rücksicht
auf Th. 30) und Th. 5) die Formen, in deren erster McColl die Resul-
tante der Elimination von x ansetzt:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 590. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/610>, abgerufen am 29.05.2024.
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