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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Zu jeder Elementegleichung, z. B. a · b, gehören im ganzen acht fünf-
gliedrige Formen, von denen die hier nicht angegebenen in der Tetrade T
enthalten sind; daher gilt auch
T B C D E (a · b), T C D (a · c), usw.,
d. h.: sollten etwa mit dem fünften Element e zur Tetrade T noch irgend
welche lineare Triaden als gleichzeitig geltende hinzukommen, welche das
Bestehen der zwei fünfgliedrigen Formen C, D oder B, E, oder irgend eines
andern Paares von diesen vier in Verbindung mit A erforderten, so wäre
in jedem dieser Fälle mindestens eine Elementegleichheit gegeben und da-
mit die Konsistenz des linearen Systemes gestört.

Nun liest man andererseits für die 6 kollinearen, bezw. die 3 x 6
denkbaren linearen Triaden, in welchen e vorkommt, leicht ab:

(a b · e) A(c d · e) A
(a e · b) D E(c e · d) C E
(b e · a) B C(d e · c) B D
(a c · e) A B(a d · e) A C(b c · e) A D(b d · e) A E
(a e · c) D(a c · d) E(b e · c) B(b e · d) C
(c e · a) C(d e · a) B(c e · b) E(d e · b) D
(E)(D)(C)(B)

Unterhalb der einzelnen Gruppen sind noch diejenigen Formen an-
gegeben, welche in den betreffenden Gruppen nicht vorkommen. -- Aus
jeder Gruppe soll eine Triade zu T hinzutreten. Man bemerkt sofort, dass
von den beiden ersten Gruppen a · b · e und c · d · e nur je die ersten
Triaden sich gegenseitig vertragen, während z. B. a e · b mit den dreien der
zweiten Gruppe der Reihe nach ergäbe:
T (a e · b) (c d · e) T A D E (b · e)
T (a e · b) (c e · d) T C D E (a · c) (b · d)
T (a e · b) (d e · c) T B D E (a · d) (b · c),
usw. (Nach K 9, Seite 576 würde ohnhin eine der beiden Triaden a b · e und
c d · e -- neben T -- die andere nach sich ziehen.) Also müssen a b · e und
c d · e jedenfalls zu den 6 Triaden gehören, welche zu T hinzukommen sollen.

Sucht man damit eine Triade aus einer andern Gruppe, z. B. der
dritten a · c · e zusammenzustellen, so zeigt sich folgendes: Die erste Triade
a c · e dieser Gruppe, welche A und B zur Folge hat, verträgt sich mit
keiner Triade aus der letzten Gruppe b · d · e, zu welcher B nicht gehört,
wo daher jede Triade zu A und B noch irgend eine weitere von den drei
übrigen Formen C, D, E hinzubringt und damit eine Elementegleichheit
bedingt. Die Triade a c · e passt also nicht in unser lineares System hin-
ein. Die folgende Triade a e · c aber ebenfalls nicht, da diese in Ver-
bindung mit den notwendig hinzutretenden a b · e und c d · e die Formen A
und D verlangt und sich daher mit keiner Triade der vierten Gruppe a · d · e
verträgt, wo D fehlt und dafür in jeder Triade eine der drei andern
Formen B, C, E vertreten ist; und ganz ebenso schliesst die dritte Triade

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Zu jeder Elementegleichung, z. B. a · b, gehören im ganzen acht fünf-
gliedrige Formen, von denen die hier nicht angegebenen in der Tetrade T
enthalten sind; daher gilt auch
T B C D E (a · b), T C D (a · c), usw.,
d. h.: sollten etwa mit dem fünften Element e zur Tetrade T noch irgend
welche lineare Triaden als gleichzeitig geltende hinzukommen, welche das
Bestehen der zwei fünfgliedrigen Formen C, D oder B, E, oder irgend eines
andern Paares von diesen vier in Verbindung mit A erforderten, so wäre
in jedem dieser Fälle mindestens eine Elementegleichheit gegeben und da-
mit die Konsistenz des linearen Systemes gestört.

Nun liest man andererseits für die 6 kollinearen, bezw. die 3 × 6
denkbaren linearen Triaden, in welchen e vorkommt, leicht ab:

(a b · e) A(c d · e) A
(a e · b) D E(c e · d) C E
(b e · a) B C(d e · c) B D
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(E)(D)(C)(B)

Unterhalb der einzelnen Gruppen sind noch diejenigen Formen an-
gegeben, welche in den betreffenden Gruppen nicht vorkommen. — Aus
jeder Gruppe soll eine Triade zu T hinzutreten. Man bemerkt sofort, dass
von den beiden ersten Gruppen a · b · e und c · d · e nur je die ersten
Triaden sich gegenseitig vertragen, während z. B. a e · b mit den dreien der
zweiten Gruppe der Reihe nach ergäbe:
T (a e · b) (c d · e) T A D E (b · e)
T (a e · b) (c e · d) T C D E (a · c) (b · d)
T (a e · b) (d e · c) T B D E (a · d) (b · c),
usw. (Nach K 9, Seite 576 würde ohnhin eine der beiden Triaden a b · e und
c d · e — neben T — die andere nach sich ziehen.) Also müssen a b · e und
c d · e jedenfalls zu den 6 Triaden gehören, welche zu T hinzukommen sollen.

Sucht man damit eine Triade aus einer andern Gruppe, z. B. der
dritten a · c · e zusammenzustellen, so zeigt sich folgendes: Die erste Triade
a c · e dieser Gruppe, welche A und B zur Folge hat, verträgt sich mit
keiner Triade aus der letzten Gruppe b · d · e, zu welcher B nicht gehört,
wo daher jede Triade zu A und B noch irgend eine weitere von den drei
übrigen Formen C, D, E hinzubringt und damit eine Elementegleichheit
bedingt. Die Triade a c · e passt also nicht in unser lineares System hin-
ein. Die folgende Triade a e · c aber ebenfalls nicht, da diese in Ver-
bindung mit den notwendig hinzutretenden a b · e und c d · e die Formen A
und D verlangt und sich daher mit keiner Triade der vierten Gruppe a · d · e
verträgt, wo D fehlt und dafür in jeder Triade eine der drei andern
Formen B, C, E vertreten ist; und ganz ebenso schliesst die dritte Triade

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[585/0229] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. Zu jeder Elementegleichung, z. B. a · b, gehören im ganzen acht fünf- gliedrige Formen, von denen die hier nicht angegebenen in der Tetrade T enthalten sind; daher gilt auch T B C D E (a · b), T C D (a · c), usw., d. h.: sollten etwa mit dem fünften Element e zur Tetrade T noch irgend welche lineare Triaden als gleichzeitig geltende hinzukommen, welche das Bestehen der zwei fünfgliedrigen Formen C, D oder B, E, oder irgend eines andern Paares von diesen vier in Verbindung mit A erforderten, so wäre in jedem dieser Fälle mindestens eine Elementegleichheit gegeben und da- mit die Konsistenz des linearen Systemes gestört. Nun liest man andererseits für die 6 kollinearen, bezw. die 3 × 6 denkbaren linearen Triaden, in welchen e vorkommt, leicht ab: (a b · e) A (c d · e) A (a e · b) D E (c e · d) C E (b e · a) B C (d e · c) B D (a c · e) A B (a d · e) A C (b c · e) A D (b d · e) A E (a e · c) D (a c · d) E (b e · c) B (b e · d) C (c e · a) C (d e · a) B (c e · b) E (d e · b) D (E) (D) (C) (B) Unterhalb der einzelnen Gruppen sind noch diejenigen Formen an- gegeben, welche in den betreffenden Gruppen nicht vorkommen. — Aus jeder Gruppe soll eine Triade zu T hinzutreten. Man bemerkt sofort, dass von den beiden ersten Gruppen a · b · e und c · d · e nur je die ersten Triaden sich gegenseitig vertragen, während z. B. a e · b mit den dreien der zweiten Gruppe der Reihe nach ergäbe: T (a e · b) (c d · e) T A D E (b · e) T (a e · b) (c e · d) T C D E (a · c) (b · d) T (a e · b) (d e · c) T B D E (a · d) (b · c), usw. (Nach K 9, Seite 576 würde ohnhin eine der beiden Triaden a b · e und c d · e — neben T — die andere nach sich ziehen.) Also müssen a b · e und c d · e jedenfalls zu den 6 Triaden gehören, welche zu T hinzukommen sollen. Sucht man damit eine Triade aus einer andern Gruppe, z. B. der dritten a · c · e zusammenzustellen, so zeigt sich folgendes: Die erste Triade a c · e dieser Gruppe, welche A und B zur Folge hat, verträgt sich mit keiner Triade aus der letzten Gruppe b · d · e, zu welcher B nicht gehört, wo daher jede Triade zu A und B noch irgend eine weitere von den drei übrigen Formen C, D, E hinzubringt und damit eine Elementegleichheit bedingt. Die Triade a c · e passt also nicht in unser lineares System hin- ein. Die folgende Triade a e · c aber ebenfalls nicht, da diese in Ver- bindung mit den notwendig hinzutretenden a b · e und c d · e die Formen A und D verlangt und sich daher mit keiner Triade der vierten Gruppe a · d · e verträgt, wo D fehlt und dafür in jeder Triade eine der drei andern Formen B, C, E vertreten ist; und ganz ebenso schliesst die dritte Triade

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 585. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/229>, abgerufen am 29.04.2024.