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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 8.
c c · a der Gruppe a · c · e eine jede Triade der vorletzten Gruppe b · c · e aus. --
Es gibt also gar keine Zusammenstellung von 6 linearen Triaden zwischen
e und den übrigen Elementen a, b, c, d, welche zur Tetrade T erster Art
in das lineare System passt. -- Die beiden andern Tetraden erster Art
gehen aus T durch Buchstabenvertauschungen hervor, durch welche die
Voraussetzungen nicht geändert werden. Sollen demnach von fünf (oder
mehr) durchweg von einander verschiedenen Elementen je drei kollinear
sein, so kann es keine vier unter den Elementen geben, deren lineare
Triaden eine Tetrade erster Art bilden.

Sofern es also überhaupt lineare Systeme von mehr als vier Ele-
menten gibt, -- und die nachfolgende geometrische Erörterung bietet
als Beispiel eines solchen Systems die sämtlichen Punkte einer geraden
Linie, -- so müssen für je vier Elemente des Systems die vier zu-
gehörigen linearen Triaden zu einer Tetrade zweiter Art nach K 8
zusammentreten, und zwischen n Elementen des Systems werden
[Formel 1] lineare Triaden bestehen, die sich zu [Formel 2]
[Formel 3] Triaden-Tetraden nach K 8 zusammenordnen
lassen.

Bei 5 Elementen hat man so z. B. die 5 Tetraden:

a · b · c · db · c · d · ea · b · c · ea · b · d · ea · c · d · e
1) a b · c7) b c · d1) a b · c3) a b · e4) a b · c
7) b c · d10) c d · e8) b c · e9) b e · d10) c d · e
2) a b · d8) b c · e3) a b · e2) a b · d6) a d · e
4) a d · c9) b c · d5) a e · c6) a d · e5) a e · c
worin die Triaden zur Erleichterung der Kontrolle nach der alphabetischen
Reihenfolge ihrer kollinearen Formen 1) a · b · c, 2) a · b · d, ... 10) c · d · e
numerirt sind. -- Die Fortsetzung für ein und mehr weitere Elemente
wäre leicht etwa nach dem durch (a b · c) (b c · d) (c d · e) (d e · f) ... ange-
deuteten Verfahren zu gewinnen.

Seien jetzt (cf. Seite 581) die vier Punkte a, b, c, d koplanar
(a · b · c · d, und z. B. (· a b c d ·),) durchweg verschieden ((a · b) (a · c) ... (c · d))
und nicht drei von ihnen kollinear ((a · b · c) (a · b · d) (a · c · d) (b · c · d));
ferner mögen dieselben, sowie auch die Schnittpunkte ihrer Verbindungs-
geraden z. B. a b und c d, überhaupt alle nunmehr in betracht zu
ziehenden Punkte p, q, r, s, ... einem "geometrischen Punktsystem"
angehören, (Law VI, S. 579)
(p · q · r) (p · q · s) (p · r · s) (p · q)
oder auch
(p · q · r) (p · q · s) (p · q) (p · r · s) (q · r · s)

Anhang 8.
c c · a der Gruppe a · c · e eine jede Triade der vorletzten Gruppe b · c · e aus. —
Es gibt also gar keine Zusammenstellung von 6 linearen Triaden zwischen
e und den übrigen Elementen a, b, c, d, welche zur Tetrade T erster Art
in das lineare System passt. — Die beiden andern Tetraden erster Art
gehen aus T durch Buchstabenvertauschungen hervor, durch welche die
Voraussetzungen nicht geändert werden. Sollen demnach von fünf (oder
mehr) durchweg von einander verschiedenen Elementen je drei kollinear
sein, so kann es keine vier unter den Elementen geben, deren lineare
Triaden eine Tetrade erster Art bilden.

Sofern es also überhaupt lineare Systeme von mehr als vier Ele-
menten gibt, — und die nachfolgende geometrische Erörterung bietet
als Beispiel eines solchen Systems die sämtlichen Punkte einer geraden
Linie, — so müssen für je vier Elemente des Systems die vier zu-
gehörigen linearen Triaden zu einer Tetrade zweiter Art nach K 8
zusammentreten, und zwischen n Elementen des Systems werden
[Formel 1] lineare Triaden bestehen, die sich zu [Formel 2]
[Formel 3] Triaden-Tetraden nach K 8 zusammenordnen
lassen.

Bei 5 Elementen hat man so z. B. die 5 Tetraden:

a · b · c · db · c · d · ea · b · c · ea · b · d · ea · c · d · e
1) a b · c7) b c · d1) a b · c3) a b · e4) a b · c
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worin die Triaden zur Erleichterung der Kontrolle nach der alphabetischen
Reihenfolge ihrer kollinearen Formen 1) a · b · c, 2) a · b · d, … 10) c · d · e
numerirt sind. — Die Fortsetzung für ein und mehr weitere Elemente
wäre leicht etwa nach dem durch (a b · c) (b c · d) (c d · e) (d e · f) … ange-
deuteten Verfahren zu gewinnen.

Seien jetzt (cf. Seite 581) die vier Punkte a, b, c, d koplanar
(a · b · c · d, und z. B. (· a̅ b̅ c̅ d̅ ·̅)̅,̅) durchweg verschieden ((̅a̅ ·̅ b̅) (a̅ ·̅ c̅) … (c̅ ·̅ d̅))
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ferner mögen dieselben, sowie auch die Schnittpunkte ihrer Verbindungs-
geraden z. B. a b und c d, überhaupt alle nunmehr in betracht zu
ziehenden Punkte p, q, r, s, … einem „geometrischen Punktsystem“
angehören, (Law VI, S. 579)
(p · q · r) (p · q · s) (̅p̅ ·̅ r̅ ·̅ s̅)̅ (p · q)
oder auch
(p · q · r) (p · q · s) (p̅ ·̅ q̅) (p · r · s) (q · r · s)

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[586/0230] Anhang 8. c c · a der Gruppe a · c · e eine jede Triade der vorletzten Gruppe b · c · e aus. — Es gibt also gar keine Zusammenstellung von 6 linearen Triaden zwischen e und den übrigen Elementen a, b, c, d, welche zur Tetrade T erster Art in das lineare System passt. — Die beiden andern Tetraden erster Art gehen aus T durch Buchstabenvertauschungen hervor, durch welche die Voraussetzungen nicht geändert werden. Sollen demnach von fünf (oder mehr) durchweg von einander verschiedenen Elementen je drei kollinear sein, so kann es keine vier unter den Elementen geben, deren lineare Triaden eine Tetrade erster Art bilden. Sofern es also überhaupt lineare Systeme von mehr als vier Ele- menten gibt, — und die nachfolgende geometrische Erörterung bietet als Beispiel eines solchen Systems die sämtlichen Punkte einer geraden Linie, — so müssen für je vier Elemente des Systems die vier zu- gehörigen linearen Triaden zu einer Tetrade zweiter Art nach K 8 zusammentreten, und zwischen n Elementen des Systems werden [FORMEL] lineare Triaden bestehen, die sich zu [FORMEL] [FORMEL] Triaden-Tetraden nach K 8 zusammenordnen lassen. Bei 5 Elementen hat man so z. B. die 5 Tetraden: a · b · c · d b · c · d · e a · b · c · e a · b · d · e a · c · d · e 1) a b · c 7) b c · d 1) a b · c 3) a b · e 4) a b · c 7) b c · d 10) c d · e 8) b c · e 9) b e · d 10) c d · e 2) a b · d 8) b c · e 3) a b · e 2) a b · d 6) a d · e 4) a d · c 9) b c · d 5) a e · c 6) a d · e 5) a e · c worin die Triaden zur Erleichterung der Kontrolle nach der alphabetischen Reihenfolge ihrer kollinearen Formen 1) a · b · c, 2) a · b · d, … 10) c · d · e numerirt sind. — Die Fortsetzung für ein und mehr weitere Elemente wäre leicht etwa nach dem durch (a b · c) (b c · d) (c d · e) (d e · f) … ange- deuteten Verfahren zu gewinnen. Seien jetzt (cf. Seite 581) die vier Punkte a, b, c, d koplanar (a · b · c · d, und z. B. (· a̅ b̅ c̅ d̅ ·̅)̅,̅) durchweg verschieden ((̅a̅ ·̅ b̅) (a̅ ·̅ c̅) … (c̅ ·̅ d̅)) und nicht drei von ihnen kollinear ((̅a̅ ·̅ b̅ ·̅ c̅)̅ (̅a̅ ·̅ b̅ ·̅ d̅)̅ (̅a̅ ·̅ c̅ ·̅ d̅)̅ (̅b̅ ·̅ c̅ ·̅ d̅)̅); ferner mögen dieselben, sowie auch die Schnittpunkte ihrer Verbindungs- geraden z. B. a b und c d, überhaupt alle nunmehr in betracht zu ziehenden Punkte p, q, r, s, … einem „geometrischen Punktsystem“ angehören, (Law VI, S. 579) (p · q · r) (p · q · s) (̅p̅ ·̅ r̅ ·̅ s̅)̅ (p · q) oder auch (p · q · r) (p · q · s) (p̅ ·̅ q̅) (p · r · s) (q · r · s)

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 586. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/230>, abgerufen am 29.04.2024.