Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Ist nun x etwa ein Schnittpunkt der beiden Geraden a b und c d,
(a · b · x) (c · d · x), so kann keine von den übrigen vier Verbindungs-
geraden a c, a d, b c, b d durch den Punkt x gehen; denn wäre z. B.
a · c · x, so hätte man
(a · b · x) (a · c · x) (a · b · c) (a · x)
(a · c · x) (c · d · x) (a · c · d) (c · x),
(a · x) (c · x) (a · c),
wogegen (a · c) vorausgesetzt ist. -- Wäre nun x' ein zweiter Schnitt-
punkt von a b und c d, (a · b · x') (c · d · x'), so hätte man
(a · b · x) (a · b · x') (a · b) (a · x · x') (b · x · x')
(c · d · x) (c · d · x') (c . d) (c · x · x') (d · x · x'),
(a · x · x') (c · x · x') (a · c · x) (x · x'),
wonach die Punkte x und x' zusammenfallen; d. h. Law VI bedeutet
in der That, -- wie auch ohnehin leicht erkennbar, -- dass zwei
Gerade a b und c d nicht mehr als einen Schnittpunkt haben können.
Dass aber auch immer ein solcher Schnittpunkt x vorhanden ist, wird
verbürgt durch die Voraussetzung a · b · c · d, dass zum mindesten eine
der sieben möglichen flachen Tetraden zwischen a, b, c, d bestehe; so
stellt sich z. B. a · b c d
(a · b c d) = {(a b1 + c d) (a1 b + c1 d1) = (a c1 + b d) (a1 c + b1 d1) =
= (a d1 + b c) (a1 d + b1 c1) = 0}
als Eliminationsresultante nach x dar entweder für die Gleichung
{(a b1 + c d) x + (a1 b + c1 d1) x1 = 0} = (a x · b) (· c d x ·),
oder für die
{a1 b + c1 d1) x + a b1 + c d) x1 = 0} = (b x · a) (c d · x),
usw., also
(a · b c d) = [Formel 1] (a x · b) (· c d x ·) = [Formel 2] (a x · c) (· b d x ·) = [Formel 3] (a x · d) (· b c x ·)
= [Formel 4] (b x · a) (c d · x) = [Formel 5] (c x · a) (b d · x) = [Formel 6] (d x · a) (b c · x)
(vergl. Law II). Das Zusammenbestehen eines Triadenpaares aus der
ersten dieser beiden Zeilen (für denselben x-Wert, z. B. (a x · b) (· c d x ·) =
= (a x · b) (c d · x1), usw.) ist ausgeschlossen durch die Voraussetzung,
dass alle in betracht kommenden Punkte einem und demselben geome-

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Ist nun x etwa ein Schnittpunkt der beiden Geraden a b und c d,
(a · b · x) (c · d · x), so kann keine von den übrigen vier Verbindungs-
geraden a c, a d, b c, b d durch den Punkt x gehen; denn wäre z. B.
a · c · x, so hätte man
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punkt von a b und c d, (a · b · x') (c · d · x'), so hätte man
(a · b · x) (a · b · x') (̅a̅ ·̅ b̅) (a · x · x') (b · x · x')
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(a · x · x') (c · x · x') (a̅ ·̅ c̅ ·̅ x̅) (x · x'),
wonach die Punkte x und x' zusammenfallen; d. h. Law VI bedeutet
in der That, — wie auch ohnehin leicht erkennbar, — dass zwei
Gerade a b und c d nicht mehr als einen Schnittpunkt haben können.
Dass aber auch immer ein solcher Schnittpunkt x vorhanden ist, wird
verbürgt durch die Voraussetzung a · b · c · d, dass zum mindesten eine
der sieben möglichen flachen Tetraden zwischen a, b, c, d bestehe; so
stellt sich z. B. a · b c d
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(vergl. Law II). Das Zusammenbestehen eines Triadenpaares aus der
ersten dieser beiden Zeilen (für denselben x-Wert, z. B. (a x · b) (· c d x ·) =
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[587/0231] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. Ist nun x etwa ein Schnittpunkt der beiden Geraden a b und c d, (a · b · x) (c · d · x), so kann keine von den übrigen vier Verbindungs- geraden a c, a d, b c, b d durch den Punkt x gehen; denn wäre z. B. a · c · x, so hätte man (a · b · x) (a · c · x) (a̅ ·̅ b̅ ·̅ c̅) (a · x) (a · c · x) (c · d · x) (̅a̅ ·̅ c̅ ·̅ d̅)̅ (c · x), (a · x) (c · x) (a · c), wogegen (̅a̅ ·̅ c̅)̅ vorausgesetzt ist. — Wäre nun x' ein zweiter Schnitt- punkt von a b und c d, (a · b · x') (c · d · x'), so hätte man (a · b · x) (a · b · x') (̅a̅ ·̅ b̅) (a · x · x') (b · x · x') (c · d · x) (c · d · x') (̅c̅ .̅ d̅) (c · x · x') (d · x · x'), (a · x · x') (c · x · x') (a̅ ·̅ c̅ ·̅ x̅) (x · x'), wonach die Punkte x und x' zusammenfallen; d. h. Law VI bedeutet in der That, — wie auch ohnehin leicht erkennbar, — dass zwei Gerade a b und c d nicht mehr als einen Schnittpunkt haben können. Dass aber auch immer ein solcher Schnittpunkt x vorhanden ist, wird verbürgt durch die Voraussetzung a · b · c · d, dass zum mindesten eine der sieben möglichen flachen Tetraden zwischen a, b, c, d bestehe; so stellt sich z. B. a · b c d (a · b c d) = {(a b1 + c d) (a1 b + c1 d1) = (a c1 + b d) (a1 c + b1 d1) = = (a d1 + b c) (a1 d + b1 c1) = 0} als Eliminationsresultante nach x dar entweder für die Gleichung {(a b1 + c d) x + (a1 b + c1 d1) x1 = 0} = (a x · b) (· c d x ·), oder für die {a1 b + c1 d1) x + a b1 + c d) x1 = 0} = (b x · a) (c d · x), usw., also (a · b c d) = [FORMEL] (a x · b) (· c d x ·) = [FORMEL] (a x · c) (· b d x ·) = [FORMEL] (a x · d) (· b c x ·) = [FORMEL] (b x · a) (c d · x) = [FORMEL] (c x · a) (b d · x) = [FORMEL] (d x · a) (b c · x) (vergl. Law II). Das Zusammenbestehen eines Triadenpaares aus der ersten dieser beiden Zeilen (für denselben x-Wert, z. B. (a x · b) (· c d x ·) = = (a x · b) (c d · x1), usw.) ist ausgeschlossen durch die Voraussetzung, dass alle in betracht kommenden Punkte einem und demselben geome-

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 587. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/231>, abgerufen am 29.04.2024.

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