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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.
A1 und B, oder zwischen A1 und B1 -- oder aber sie werden als die
"Hülfsbeziehungen" das Verschwinden resp. Nichtverschwinden von
nur einem der Gebiete A, B selbst oder von seiner Negation aus-
drücken.

§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt und ihre
Darstellung durch vier primitive (De Morgan's). Die möglichen
Aussagen. über n Klassen und Peano's Anzahl derselben.

Am bequemsten wird man sämtliche Umfangsbeziehungen aus-
drücken durch die vier folgenden, welche "primitive Beziehungen"
heissen mögen:
XVI0. a = {A B = 0}, c = {A B1 = 0}, b = {A1 B = 0}, l = {A1 B1 = 0},
und deren Negationen:
a1 = {A B 0}, c1 = {A B1 0}, b1 = {A1 B 0}, l1 = {A1 B1 0}.

Für die Grund- und Elementarbeziehungen ist dies bereits in
§ 36, Tafel IV0 wesentlich geleistet, und erhalten wir aus den dortigen
Formeln -- durch Einsetzung der für die rechterhand stehenden Aus-
sagen geltenden Symbole -- unmittelbar den Anfang der nächst-
folgenden Tafel, sofern wir nur eines berücksichtigen und zwar dieses:

Nach Th. 24+) ist:
(A B1 + A1 B = 0) = (A B1 = 0) (A1 B = 0)
und wie hieraus durch beiderseitiges Negiren (Kontraposition) folgt auch:
(A B1 + A1 B 0) = (A B1 0) + (A1 B 0). --
Ebenso ist aber auch ferner:
h = (A = 0) = (A B + A B1 = 0) = (A B = 0) (A B1 = 0)
und analog:
k = (B = 0) = (A B + A1 B = 0) = (A B = 0) (A1 B = 0).
Sonach werden auch die Hülfsrelationen -- zunächst h, k -- sich in
Faktoren der obigen vier Formen zerspalten lassen.

Die Fortsetzung der Tafel ergibt sich leicht, wenn man hierin,
sowie in IV0, B durch B1 oder (resp. und) A durch A1 ersetzt und
dann wieder rechterhand für die Aussagen selbst die zur Abkürzung
für sie eingeführten Symbole schreibt.

Achtzehnte Vorlesung.
A1 und B, oder zwischen A1 und B1 — oder aber sie werden als die
„Hülfsbeziehungen“ das Verschwinden resp. Nichtverschwinden von
nur einem der Gebiete A, B selbst oder von seiner Negation aus-
drücken.

§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt und ihre
Darstellung durch vier primitive (De Morgan’s). Die möglichen
Aussagen. über n Klassen und Peano’s Anzahl derselben.

Am bequemsten wird man sämtliche Umfangsbeziehungen aus-
drücken durch die vier folgenden, welche „primitive Beziehungen“
heissen mögen:
XVI0. a = {A B = 0}, c = {A B1 = 0}, b = {A1 B = 0}, l = {A1 B1 = 0},
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Für die Grund- und Elementarbeziehungen ist dies bereits in
§ 36, Tafel IV0 wesentlich geleistet, und erhalten wir aus den dortigen
Formeln — durch Einsetzung der für die rechterhand stehenden Aus-
sagen geltenden Symbole — unmittelbar den Anfang der nächst-
folgenden Tafel, sofern wir nur eines berücksichtigen und zwar dieses:

Nach Th. 24+) ist:
(A B1 + A1 B = 0) = (A B1 = 0) (A1 B = 0)
und wie hieraus durch beiderseitiges Negiren (Kontraposition) folgt auch:
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und analog:
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Sonach werden auch die Hülfsrelationen — zunächst h, k — sich in
Faktoren der obigen vier Formen zerspalten lassen.

Die Fortsetzung der Tafel ergibt sich leicht, wenn man hierin,
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[136/0160] Achtzehnte Vorlesung. A1 und B, oder zwischen A1 und B1 — oder aber sie werden als die „Hülfsbeziehungen“ das Verschwinden resp. Nichtverschwinden von nur einem der Gebiete A, B selbst oder von seiner Negation aus- drücken. § 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt und ihre Darstellung durch vier primitive (De Morgan’s). Die möglichen Aussagen. über n Klassen und Peano’s Anzahl derselben. Am bequemsten wird man sämtliche Umfangsbeziehungen aus- drücken durch die vier folgenden, welche „primitive Beziehungen“ heissen mögen: XVI0. a = {A B = 0}, c = {A B1 = 0}, b = {A1 B = 0}, l = {A1 B1 = 0}, und deren Negationen: a1 = {A B ≠ 0}, c1 = {A B1 ≠ 0}, b1 = {A1 B ≠ 0}, l1 = {A1 B1 ≠ 0}. Für die Grund- und Elementarbeziehungen ist dies bereits in § 36, Tafel IV0 wesentlich geleistet, und erhalten wir aus den dortigen Formeln — durch Einsetzung der für die rechterhand stehenden Aus- sagen geltenden Symbole — unmittelbar den Anfang der nächst- folgenden Tafel, sofern wir nur eines berücksichtigen und zwar dieses: Nach Th. 24+) ist: (A B1 + A1 B = 0) = (A B1 = 0) (A1 B = 0) und wie hieraus durch beiderseitiges Negiren (Kontraposition) folgt auch: (A B1 + A1 B ≠ 0) = (A B1 ≠ 0) + (A1 B ≠ 0). — Ebenso ist aber auch ferner: h = (A = 0) = (A B + A B1 = 0) = (A B = 0) (A B1 = 0) und analog: k = (B = 0) = (A B + A1 B = 0) = (A B = 0) (A1 B = 0). Sonach werden auch die Hülfsrelationen — zunächst h, k — sich in Faktoren der obigen vier Formen zerspalten lassen. Die Fortsetzung der Tafel ergibt sich leicht, wenn man hierin, sowie in IV0, B durch B1 oder (resp. und) A durch A1 ersetzt und dann wieder rechterhand für die Aussagen selbst die zur Abkürzung für sie eingeführten Symbole schreibt.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 136. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/160>, abgerufen am 27.04.2024.